Antara Logika dan Perasaan

Terkadang setiap orang tidak pernah menyadari bahwa setiap mereka melakukan sesuatu hal yang mereka inginkan di dalamnya terdapat unsur logika dan perasaan. Dimana keduanya ini saling berkaitan erat, akan tetapi pada kenyataanya dalam kehidupan manusia sering kali logika dan perasaan tidak seiring jalan. Sulit diterka sebenarnya adakalanya logika bisa mengalahkan perasaan begitu pula sebaliknya. Tak jarang pula kedua unsur tersebut dapat memicu sebuah peristiwa yang terkadang tidak banyak orang lain tau kecuali yang mengalaminya. Mungkin anda semua pernah merasakannya hanya saja tidak pernah terbesit di hati anda untuk memikirkan logika dan perasaan anda,  apa lagi disaat anda mengalami sebuah masalah sehingga marah mungkin anda hanya mendahulukan logika saja sehingga tidak ada kesempatan perasaan untuk angkat bicara. Begitu juga sebaliknya di saat anda bersedih di tinggal oleh sang kekasih hati mungkin anda hanya memenangkan perasaan dari pada logika anda,”bagaimana bisa?” mungkin itu pertayaan yang anda lontarkan ketika membaca sebaris kalimat ini. Ya tentu saja begitu, pada faktanya apabila anda berpegang pada logika saat orang yang anda sayangi pergi maka anda akan berfikir positif dengan merelakan dia untuk orang lain dan menghargai keputusan kekasih hati anda untuk meninggalkan anda, bukannya sedih yang berkepanjangan. Ini membuktikan disaat posisi seperti itu anda hanya menggunakan perasaan tanpa menghiraukan logika. Semua ini hanya contoh kecil dari logika dan perasaan yang tidak dapat berjalan bersamaan seandainya saja antara logika dan perasaan dapat selalu berjalan bersama mungkin tidak ada orang galau, marah, sedih dan sebagainya.

Banyak orang mengatakan bahwa pria dan wanita memiliki watak yang berbeda. Seorang pria lebih berpegang pada logika, sedangkan wanita lebih berpegang pada perasaan apakah benar begitu???? Yah, mungkin pernyataan itu benar karena sebagian besar seorang wanita maupun pria wataknya lebih dominan sesuai dengan pernyataan tersebut. Seorang wanita lebih berfikir jangka panjang sehingga dia dapat memikirkan keputusan yang dilakukan hingga ke masa depan, berbeda dengan pria yang selalu berfikir jangka pendek yang berfikir di masa yang sekarang sedang di hadapi saja tanpa memikirkan masa depan. Perbedaan yang cukup mencolok, akan tetapi ini semua bukan hal yang mutlak dan harus dipercaya  karena sesungguhnya antara logika dan perasaan tidak berpacu pada jenis kelamin tetapi pada waktu dan peristiwa. Di saat peristiwa yang membuat hati marah dan kesal mungkin saja logika anda lebih dominan akan tetapi saat sedih perasaan anda yang mulai bermain.

Jadi antara logika dan perasaan tidak dapat di jadikan pegangan mutlak bahwa pria selalu berfikir dengan logika sedangkan wanita selalu berfikir dengan perasaan karena sebenarnya keduanya memiliki keunggulan dan kekurangan. Dimana seharusnya saat perasaan lebih dominan pada diri kita di waktu - waktu tertentu seharusnya logika bisa cepat berorientasi mengikuti suasana diri kita. Begitu pula sebaliknya. Jangan sampai perasaan kita dapat mengalahkan logika seperti halnya bunuh diri karena putus cinta. Lain halnya lagi saat logika bisa mengalahkan perasaan seperti mungkin kekerasan dalam rumah tangga yang sering terjadi karena masalah sepele ada seorang ibu yang meminta uang belanja kepada suaminya disaat suami tidak punya uang, tetapi tidak dapat uangnya malah kena pukul suami. Kedua contoh tersebut adalah hal yang tidak diinginkan, tapi mungkin saja contoh akibat dari tidak dapatnya menempatkan diri atas logika dan perasaan. sehingga tindakan kekeliruan seperti ini harus segera diluruskan dengan menempatkan keduanya di tempat yang sesuai.

Manusia diciptakan oleh Tuhan dengan memiliki jiwa dimana di dalam jiwa ini terdapat perasaan, pikiran, emosi , naluri, watak, dll. Semua ini di hadirkan di dalam diri manusia dengan kebebasan. Tentunya perlu adanya tanggung jawab dari dalam diri masing – masing, akan tetapi manusia masih saja tidak maksimal dalam menggunakanya bahkan tidak bisa memposisikan pikiran serta perasaannya secara optimal. Namun, semua ini sulit ditebak karena sesungguhnya perasaan dan pikiran manusia tergantung pada pemiliknya. Sejauh dan sedekat apa dia pada sang Pencipta yang menciptakan akal dan pikirannya. Tidak jauh menyimpang dari soal agama, manusia diibaratkan sebagai pisau yang bila diasah terus akan semakin menajam dan bila tidak pernah diasah akan menjadi tumpul. Begitu pula dengan manusia semakin jauh dari Tuhan serta tidak pernah diasah hatinya dengan siraman rohani maka cara berprasaan dan pikirannya akan semakin menumpul begitu pula bila semakin dekat pada Tuhan dan diasah hatinya dengan kerohanian maka akan menajam cara berprasaan dan berfikirnya. Setidaknya di saat kita mencoba merubah diri dari cara memandang arti logika dan perasaan maka kita akan merubah hidup ke arah yang lebih baik serta damai yang jauh dari konflik.

Logika

Ada hal-hal diluar logika, Tidak semua hal bisa dilogikan.

saya cukup sering mendengar orang berkata demikian. Nah.. sekarang saya mau nanya Apa itu Logika?

Logika adalah kerangka bagi Ilmu Pengetahuan tanapanya mustahil ilmu pengetahuan akan tegak berdiri. Logika adalah Ilmu tentang Argumen.

Tujuan dari Logika adalah membangun metode-metode bagaimana mengkontruksikan argumen kita sendiri dan juga bagaimana menganalisa argumen orang lain.

Yang saya maksud dengan argumen bukanlah perdebatan sengit penuh emosi tetapi pada logika yang dimaksud dengan argumen adalah sekumpulan pernyataan-pernyataan yang disebut premis yang bertujuan untuk mendukung, menjelaskan, memberikan alasan terhadap  pernyataan akhir yang disebut dengan kesimpulan.

Apai itu pernyataan?

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran yaitu benar atau salah.

Contoh:

-          - Bensin mudah terbakar.

-          - Cristiano Ronaldo adalah pemain bulu tangkis.

-          - 5 adalah bilangan genap

-          - Bandung merupakan ibukota jawa jawa barat.

Pernyataan 1 dan 5 bernilai benar sedangkan yang no 2 dan no 3 bernilai salah. Tidak semua kalimat merupakan pernyataan, dengan kata lain tidak semua kalimat mempunyai nilai kebeneran. Kalimat tanya, kalimat perintah, kaliamat seruan bukanlah pernyataan.

Bapakmu, kemana? (kalimat Tanya)

Ambilkan saya minum! (kalimat perintah)

Wah… Indah sekali. (kalimat seruan)

Ketiga kalimat diatas bukanlah pernyataan.

Setelah kalian tahu apa itu pernyataan. sekarang mari kita lihat contoh Argumen.

Semua manusia tidak abadi

Socrates manusia

Socrates Tidak abadi.

Contoh diatas terdiri dari 2 premis yaitu Semua manuasia tidak abadi dan Socrates manusia. Sedengkan ksimpulannya adalah: Socrates Tidak abadi . Butuh 2 pernyataan  untuk menjelaskan, untuk  mendukung pernyataan: Socrates Tidak abadi. Dalam logika, argumen disusun dengan format yang disebut bentuk standart (Standart form)

Premis 1

Premis 2

Premis n

Kesimpulan

Tentunya sekarang kalian sudah tahu yang mana premis, yang mana kesimpulan dari contoh argumen diatas.

Jadi jika kalian mempunyai pernyataan. Logika memberikan metode bagaimana menyusun premis-premis yang baik sehingga menjadi argumen yang utuh dan valid. Begitu pula sebaliknya logika memberikanmu metode menganalisis argumen orang lain.

Proposisi

Proposisi adalah pernyataan tentang hubungan yang terdapat di antara subjek dan predikat. Dengan kata lain, proposisi adalah pernyataan yang lengkap dalam bentuk subjek-predikat atau term-term yang membentuk kalimat. Kaliimat Tanya,kalimat perintah, kalimat harapan , dan kalimat inversi tidak dapa disebut proposisi . Hanya kalimat berita yang netral yang dapat disebut proposisi. Tetapi kalimat-kalimat itu dapat dijadikan proposisi apabila diubah bentuknya menjadi kalimat berita yang netral.

Jenis-Jenis Proposisi

Proposisi dapat dipandang dari 4 kriteria, yaitu berdasarkan :

1. Berdasarkan bentuk

2. Berdasarkan sifat

3. Berdasarkan kualitas

4. Berdasarkan kuantitas

Berdasarkan bentuk, proposisi dapat dibagi menjadi 2, yaitu :

a) Tunggal adalah proposisi yang terdiri dari satu subjek dan satu predikat atau hanya mengandung satu pernyataan.

Contoh :

• Semua petani harus bekerja keras.

• Setiap pemuda adalah calon pemimpin.

b) Majemuk atau jamak adalah proposisi yang terdiri dari satu subjek dan lebih dari satu predikat.
Contoh :

• Semua petani harus bekerja keras dan hemat.

• Paman bernyanyi dan menari.

Berdasarkan sifat, proporsis dapat dibagi ke dalam 2 jenis, yaitu:

a) Kategorial adalah proposisi yang hubungan antara subjek dan predikatnya tidak membutuhkan / memerlukan syarat apapun.

Contoh:

• Semua kursi di ruangan ini pasti berwarna coklat.

• Semua daun pasti berwarna hijau.

b) Kondisional adalah proposisi yang membutuhkan syarat tertentu di dalam hubungan      subjek dan predikatnya. Proposisi dapat dibedakan ke dalam 2 jenis, yaitu: proposisi kondisional hipotesis dan disjungtif.

Contoh proposisi kondisional:

• jika hari mendung maka akan turun hujan

Contoh proposisi kondisional hipotesis:

• Jika harga BBM turun maka rakyat akan bergembira.

Contoh proposisi kondisional disjungtif:

• Christiano ronaldo pemain bola atau bintang iklan.

Berdasarkan kualitas, proposisi juga dapat dibedakan menjadi 2 jenis, yaitu:

a) Positif(afirmatif) adalah proposisi yang membenarkan adanya persesuaian hubungan antar

subjek dan predikat.

Contoh:

• Semua dokter adalah orang pintar.

• Sebagian manusia adalah bersifat sosial.

b) Negatif adalah proposisi yang menyatakan bahawa antara subjek dan predikat tidak mempunyai hubungan.

Contoh:

• Semua harimau bukanlah singa.

• Tidak ada seorang lelaki pun yang mengenakan rok.

Berdasarkan kuantitas., proposisi dapat dibedakan ke dalam 2 jenis, yaitu:

a) Umum adalah predikat proposisi membenarkan atau mengingkari seluruh subjek.

Contoh:

• Semua gajah bukanlah kera.

• Tidak seekor gajah pun adalah kera.

b) Khusus adalah predikat proposisi hanya membenarkan atau mengingkari sebagian subjeknya.

Contoh:

• Sebagian mahasiswa gemar olahraga.

• Tidak semua mahasiswa pandai bernyanyi.

Fungsi

Definisi Fungsi

Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain).

Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).

Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf

lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f

kepada x. Misalkan : f(x) = x+ 2, maka f(3) = 3 + 2.

Sifat Fungsi

1) Fungsi f :A? B disebut fungsi INTO. Karena ada kodomain yang tidak berpasangan dengan domain.

2) Fungsi f :A? B disebut fungsi INJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain.

3) Fungsi f:A? B disebut fungsi SUBJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan dengan domain.

4) Fungsi f:A? B disebut fungsi BIJEKTIF. Karena sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(A) = n(B)

Pemetaan khusus yang terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A disebut KORESPONDENSI SATU SATU.

Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika banyaknya anggota A = banyaknya anggota B.

Jenis-Jenis Fungsi

Jenis-jenis fungsi yang perlu kita ketahui diantaranya adalah :

A). Fungsi Konstan

Suatu fungsi f : A?B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan. Apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan.

B). Fungsi Identitas

Fungsi Identitas adalah suatu fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = x. Fungsi identitas sering dinyatakan dengan lambang I sehingga I(x) = x.

C). Fungsi Modulus Atau Fungsi Harga Mutlak

Fungsi modulus adalah fungsi f yang memuat bentuk nilai mutlak.

D). Fungsi Linear

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ? 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.

E). Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ? 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.

F). Fungsi Tangga (Bertingkat)

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.

G). Fungsi Modulus

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.

H). Fungsi Ganjil Dan Fungsi Genap

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ? –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.

Fungsi Invers

Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan

tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi.

Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f –1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif

atau dalam korespondensi satu-satu.

Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara

berikut ini.

a. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.

b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah x = f(y).

c. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f –1(x).

Aljabar Fungsi

a. Penjumlahan f dan g didefinisikan (f + g) (x) = f(x) + g(x).

b. Pengurangan f dan g didefinisikan (f – g)(x) = f(x) – g(x).

c. Perkalian f dan g didefinisikan (f +g)(x) = f(x) + g(x).

Fungsi Komposisi

Komposisi fungsi adalah penggolongan beberapa fungsi menjadi sebuah fungsi

Relasi

Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B. Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B. Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B.

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu. Terdapat 4 cara menyatakan relasi yaitu, dengan Himpunan Pasangan Berurutan, dengan Diagram Panah, dengan Diagram Cartesius, dengan Rumus.

Sebelum mendefinisikan produk Cartesius, terlebih dahulu perlu mengenal pengertian pasangan terurut. Dalam sistem koordinat Cartesius dengan sumbu x dan sumbu y, kita mengetahui bahwa titik dengan koordinat (2,5) tidaklah sama dengan titik yang berkoordinat (5,3). Begitu pula titik (4,7) dengan (7,4) tidak berimpit letaknya maka kedua titik ini tidak sama. Dalama hal koordinat titik seperti contoh di atas ternyata bahwa urutan pasangan bilangan itu harus diperhatikan karena urutan yang berlainan akan menentukan letak (posisi) titik dalam bidang XOY yang berbeda pula.

Sepasang bilangan x dan y dengan x dalam urutan pertama dan y dalam urutan kedua, ditulis (x, y) dan dinamakan pasangan terurut. Selain itu, perlu pula untuk kita ketahui tentang perbedaan pasangan terurut (x,y) dengan himpunan {x, y}. Himpunan {x, y} sama dengan {y, x} karena dalam himpunan urutan tidak dipentingkan.

Sekarang perhatikan A dan B sebagai dua himpunan yang diketahui. Dari kedua himpunan ini dapat membentuk suatu himpunan baru yang anggota-anggotanya merupakan pasangan terurut yang unsur pertamanya adalah anggota-anggota A dan unsur keduanya adalah anggota-anggota B. Himpunan yang baru dibentuk ini dinamakanProduk Cartesius (produk cartesius) dari A ke B atau disebut pulahimpunan perkalian dari A ke B, dan ditulis A x B dibaca “A kros B” atau “A kali B” atau “A silang B”.

Penyajian matriks relasi, di sini baris matriks menyatakan anggota himpunana A sedangkan kolommatriks menyatakan anggota himpunan B. Element baris ke i kolom ke j matriks kita isi angka 1 bila ada kaitan antara anggota ke i (dari A) dengan anggota ke j (dari B), atau dengan perkataan lain pasangan (i,j) є R . Dalam hal ini, elemen matriks kita  si dengan 0. Penyajian diagram panah, anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah.

Bila pada relasi R dari A ke B kita balik seluruh pasangan terurutnya, komponen pertama menjadi komponen kedua dan sebaliknya komponen kedua menjadi komponen pertama, maka terbentuklah sebuah relasi  dari B ke A yang merupakan invers dari R . Jadi kalau R = ((a,b) I a є A, b є B), maka inversnya R^-1 = ((b,a) I b є B , a є a ).

Bilangan

MACAM-MACAM BILANGAN

1.  BILANGAN RIIL (BILANGAN NYATA)

Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.

Contoh: {log 10, 5/8, -3, 0, 3,}

2. BILANGAN RASIONAL

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:

a/b dimana a dan b adalah bilangan bulat dan b ¹ 0.

Contoh: {0,-2, 2/7, 5, 2/11,…}

3. BILANGAN IRRASIONAL

Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan dalam pembagian bilangan bulat.

Contoh: {log 3, log 2,…}

4. BILANGAN BULAT

Bilangan bulat adalah bagian dari Bilangan Riil. Bilangan Bulat disebut juga bilangan utuh. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
Contoh = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

5. BILANGAN ASLI

Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

Contoh = {1,2,3,4,5,6,......}

6. BILANGAN PRIMA

Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

Contoh = {2,3,5,7,11,13,....}

(1 bukan bilangan prima karena hanya mempunyai satu faktor saja)

7. BILAGAN CACAH

Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

Contoh = {0,1,2,3,4,5,6,....}

8. BILANGAN IMAJINER (BILANGAN KHAYAL)

Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1

Contoh: i, 4i, 5i

9. BILANGAN KOMPLEKS

Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b adalah bilangan Riil , i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.

Contoh: 2-3i, 8+2

10. BILANGAN KOMPOSIT

Bilangan Komposit adalah bilangan yang bukan 0, bukan 1 dan bukan bilangan prima.

Contoh: {4, 6, 8, 9, 10, 12, ….}

Himpunan

A. PENGERTIAN HIMPUNAN

Himpunan merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang telah terdefinisi secara jelas  atau sekumpulan objek yang mempunyai satu kesatuan serta mempunyai keterikatan diantara anggota-anggotanya.

Contoh himpunan:

-          Kumpulan kata dalam kamus

-          Kumpulan buku dalam perpustakaan

Sifat keterikatan yang ada dalam kumpulan tersebut biasa disebut sifat-sifat dari himpunan:

1.       Setiap objek dapat dibedakan dari yang satu dengan yang lainnya yang ada dalam unsur/elemen dari himpunan itu sendiri.

2.       Dapat dibedakan mana anggota himpunan dan mana yang bukan.

Contoh:

Umum:  - himpunan mahasiswa ikip pgri bali yang namanya mulai dari huruf A

              - himpunan binatang berkaki 2

              - ilmu geometri berhubungan dengan matematika yang berhubungan dengan titik

Khusus: - himpunan bilangan positif

              - himpunan bilangan real yang x≤5004

              - himpunan asli yang 2 <x<60

ü Lambang himpunan biasa ditulis sebagai berikut: “A” = {    }

            ɛ = elemen / unsur

B. MENYATAKAN ATAU MENULIS  SUATU HIMPUNAN

1.       Cara pendaftaran

Suatu cara yang dipergunakan untuk menulis himpunan dengan cara mendaftarkan setiap elemen / unsur dari himpunan tersebut.

Contoh: himpunan bilangan bulat yang kurang dari sama dengan 18, ditulis     B= {0,1,2,3,...}

2.       Cara pencirian

Suatu cara yang dipakai untuk menyatakan / menulis himpuna dengan cara menulis karakteristik dari setiap elemen / unsur himpunan tersebut.

Contoh: himpunan bilangan real  yang 2,005<x≤10,11

Dinyatakan dalam bentuk pencirian menjadi  R={x/2,005<x≤10,11;xϵR}

C.  JUMLAH UNSUR SUATU HIMPUNAN

Banyaknya elemen atau unsur yang terkandung didalam himpunan itu sendiri , biasanya di beri simbol “ N(A)”= kardinal.

 Contoh :

1.       A= {a,i,u,é,o,e}

“N(A)”= 6

2.       B= {-2,-1,0,1,2,3,4}

“N(A)”=7

D. MACAM-MACAM HIMPUNAN

1.       Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki elemen atau unsur. Simbol himpunan kosong

i.  {       }

ii. Ф atau Ǿ

Contoh : - himpunan nama hari yang diawali huruf z

                -himpunan bilangan bulat 4<x<5

                Jika ditulis dengan cara pencirian menjadi : A= {x/x}

2.       Himpunan Bagian

Jika A adalah himpunan, B juga himpunan  maka himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika untuk setiapn x elemen berada dalam himpunan  A dan untuk setiap x elemen pula berada dalam himpunan B.

Simbol : “C”

Contoh :

A={1,3,5,7}

B=Himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 25

Jadi  ACB

3.   Himpunan Bagian Sejati

Jika A adalah suatu himpunan dan B juga merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan himpunan bagian yang sejati dari himpunan B , jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan B , paling sedikit sekurang kurangnyaada 1 elemen B Yang tidak berada dalam himpunan A.

Contoh :

A= {1,3,5,7}

B=Himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 25

Jadi ACB adalah himpunan bagian sejati

4.    Himpunan berhingga

Suatu himpunan yang elemen unsur/ anggotanya dapat dihitung banyaknya atau berhingga  banyaknya. Biasanya untuk menyatakan atau menulis himpunan ini tidak perlu ditulis secara keseluruhan dari elemen-elemennya ,cukup ditulis anggota awalnya serta anggota akhirnya.

Contoh :

A=himpunan bilangan bulat positif < 2000

 Jadi A={0,1,2,3,4,...,1999}

5.    Himpunan Tak Berhingga

Suatu himpunan yang elemen / unsur maupun anggotanya tidak dapat dihitung banyaknya(tak berhingga). Untuk menyatakan / menulis himpunan ini tidak perlu ditulis semuanya ukup ditulis elemen awal  dan titulis 3 titik tanpa ada elemen berikutnya.

Contoh:

Himpunan bilangan asli

Jadi A= {1,2,3,...}

6.    Himpunan Semesta(S)

Suatu himpunan yang elemen/unsur anggotanya merupakan keseluruhan dari objek objek pembicaraan didalam himpunan itu sendiri.

Contoh :

A= himpunan garis yang saling berpotongan dalam suatu bidang datar

B= Himpunan suatu kurva yang saling berpotongan dalam suatu bidang datar

Jadi himpunan semesta adalah kumpulan titik-titik pada suatu bidang datar

7.    Himpunan Complument ( A^c)

Jika S adalah himpunan semesta dan A merupakan suatu himpunan bagian dari himpunan S, Maka A^c adalah suatu himpunan yang elemen atau unsur atau anggotanya adalah yang tidak berada pada himpunan A itu sendiri.

8.    Himpunan Bersandi

Jika A dalah himpunan dan B juga himpunan maka Himpunan A dikatakan himpunan bersandi  dari himpunan B jika dan hanya jika paling sedikitnya ada satu atau lebih unsur atau elemen dari kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama.

Contoh ;

A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

B= {5,7,9,11,13,15,17}

Jadi A bersandi B= {5,7,9}

9.    Himpunan Lepas

Jika A adalah suatu Himpunan dan B juga himpunan , maka A dikatakan himpunan lepas dari himpunan b jika dan hanya jiak kedua himpunan tersebut tidak mengandung unsur atau elemen yang saling bersekutu.

Contoh:

A = {x/x bilangan ganjil}

B = {x/x bilangan genap}

Jadi A himpunan lepas B

10. Himpunan Sama

Jika A suatu himpunan dan b juga merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan Himpunan sama dengan himpunan B ,jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan A dan x elemen berada pula pada himpunan B , begitu pula sebaliknya, maka dikatakan himpunan sama.

Contoh :

A={a,i,u,e,o}

B={u,e,o,a,i}

Jadi A=B

11. Himpunan Sederajat

Jika A merupakan suatu himpunan dan b juga merupaakan suatu himpunan, maka himpunan a dikatakan himpunan sederajat dengan himpunan B jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut mempunyai jumlah bilangan kardinal.

Contoh ;

A={a,b,c,d,e,f,g}

B={0,1,2,3,4,5,6}

N(A)= 7

N(B)=7

N(A)=N(B)

Jadi A sederajat dengan B